FUNCIONES RACIONALES

En esta entrada vamos a estudiar en mayor profundidad en comportamiento de las funciones racionales para valores grandes de |x| (x positivo o negativo). También empleamos la expresión 'cuando x tiende a infinito' (positivo o negativo).

Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas

- Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x para los que f(x)=0.
- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales).
- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.

• En la grafica anterior se puede visualizar dos puntos que determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Al momento de manipular los deslizadores esta sigue teniendo el mismo aspecto con la única diferencia de que al mover el deslizador "n" a la izquierda se acorta.

• En la siguiente grafica se puede ver que al momento de manipular el deslizador "k" las líneas de estas se abren hacia arriba haciendo una separación entre ellas. Al mover el deslizador "n" se convierte toda la grafica en una línea recta desapareciendo por completo las de el punto "k".

• En la grafica anterior se interpretar el valor de "k" es negativo o positivo mientras que "n" es par o impar. Si manipulamos el deslizador de "n" hacia el punto mayor a 1 la curva de la izquierda negativa (o sea la de abajo) desaparece mientras que vuelve a presentarse de lado izquierdo. Al mover el "k" las curvas abren hacia arriba cuando están en negativo, mientras que cuando están en positivos toman un giro hacia arriba.

Función cuadrática como caso particular de la función polinomial

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero).

• El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax2 es el término cuadrático.
• Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. 

1. ¿Qué diferencias y qué similitudes observas en las gráficas de las funciones y=-4x²+16 y y=-x²+16?

R= Sus raíces, y que una es más angosta que otra cabe mencionar que ambas son negativas. Según la gráfica de la ecuación y=1/2x²+16,


¿Cuál es la diferencia respecto a las gráficas anteriores?



R= La diferencia de esta gráfica con la anterior es que esta abre hacia arriba y de igual manera cambia su raíz.

FUNCIONES

-¿Qué ocurre con la grafica f(x)=x^2 con respecto a f(x)=x^2+1?

R= Sube un espacio

-¿Y con respecto a f(x)=x^2-1?

R=Baja un espacio la gráfica

Escribe tus conclusiones:

R= Si sumamos o restamos en una constante la grafica tiende a subir o bajar

Traslaciones verticales/ Horizontales

*De qué manera se desplazaron las funciones (x-1)2, (x+1)2 con respecto a X2

R= (X-1)2 es a la derecha (X+1)2 a la izquierda

*Que diferencia qhay entre este desplazamiento y el  que verás en la entrada siguiente

R=Una va en horizontal y la otra en vertical

*La diferencia entre x2-1 y (x-1)2, o entre (x+1)2 y x2 +1

R= Se le agrega la línealidad

Funciones pares e impares

Acontinuacion dejaré unos ejemplos creados en geogebra. La primera Gráfica pertenece a las funciones algebraicas clasificación cuadráticas: La segunda Gráfica pertenece a las funciones trascendentes clasificación exponenciales: La tercera Gráfica pertenece a las funciones especiales clasificación valor absoluto:

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Según la forma en que se representan matemáticamente las funciones se pueden clasificar en:

Algebraicas: son aquellas que pueden formarse usando solo operaciones algebraicas.

Trascendentes: Podemos definirlas como aquellas que no son algebraicas, a esta clasificación pertenece las funciones: f(x)= sen x.

Algebraícas: éstas se dividen en  Lineales, Cuadráticas, Cúbicas, cuárticas.

LINEALES: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

CUADRÁTICAS: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

dónde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.  En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

• ax2 es el término cuadrático
• bx es el término lineal
• c es el término independiente
  

CÚBICAS: Una función cúbica es una función polinómica de grado 3.

Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.

CUÁRTICA: Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación algebraica[] que se puede poner bajo la forma canónica:

dónde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales o los complejos .

Trascendentes: éstas son conformadas por: trigonométricas, exponenciales, logarítmicas.

Trigonométricas:  asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

• Función sen: La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x.
• Función cos: La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.
• Función Tan:  La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

Exponenciales: La función exponencial es del tipo:    Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Logarítmicas: La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

 Especiales: está conformado por, constante, identidad, valor absoluto, seccionada, escalanada, máximo entero y racional.

Constantes: La función constante es del tipo:    y = n  El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Identidad: La función identidad es del tipo: f(x) = x Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

Valor absoluto: Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Seccionada: Las funciones seccionadas son aquellas que están compuestas por funciones individuales, la siguiente función  representa a una función individual, cuando se agrupan varias funciones individuales en una sola función da como resultado una función seccionada.

Escalonada: una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

Máximo entero: El MAXIMO ENTERO es un número real x, denotado por [[x]], es

el mayor de todos los números enteros menores o iguales a x

[[x]] = maxfde todos los enteros n tales que n _ xg

Ejemplo:

[[4;9]] = 4

[[3;2]] = 3

[[􀀀2;9]] = 􀀀3

[[􀀀4]] = 􀀀4

Racional: Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.